третья фундаментальная теорема

IV. ОБЩЕСТВЕННОЕ БЛАГОСОСТОЯНИЕ И ТРЕТЬЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Итак, как же можно решить распределительную проблему? Одним из потенциальных ответов является принятие гипотезы о существовании функции экономического благосостояния Бергсона (Beigson, 1938) Е(-), зависящей от объемов нетрудовых факторов производства, применяемых каждой производственной единицей, количества труда, предложенного каждым индивидом, и объемов произведенных благ, потребленных каждым индивидом. Далее решается задача максимизации Е(). Если выписать необходимые условия для Парето-оптимальности, которые должны выполняться для любой Е(), то это упражнение вполне допустимо, но если принять некоторый конкретный вид Е(-), выведя затем из него распределительные следствия, то может возникнуть возражение: почему именно эта Е(), а не какая-то другая?
Де Грааф (de Graaff, 1957) «фокусирует» подход Бергсона, анализируя функции благосостояния «индивидуалистического» типа: они могут быть записаны как W(uv и2, ия), где и. представляет уровень полезности /-го индивида. Де Грааф разъяснил, что максимизация слишком широко определенной Щ) просто вновь приводит к получению условия Парето-оптимальности, в то время как максимизация слишком узко определенной Щ) отражает предпочтения экономиста, изобретающего Щ)\ Таким образом, хорошая функция Щ) должна быть определена не слишком широко и не слишком узко; она должна отражать некоторые широко распространенные мнения о том, какие распределения желательны и какие — нет. Максимизация такой функции благосостояния обеспечивает как оптимальность по Парето, так и надлежащее распределение богатства. Но можно ли найти хорошую функцию Де Грааф оптимистичен в том, что члены общества могут прийти к согласию о степени равенства, которая должна заключаться в W(). W(-) должна также включать предположения о принятом временном горизонте (учитывать ли интересы еще нерожденных детей?), а также отношение к неопределенности, временному дисконтированию и т.д. Поэтому он считает крайне маловероятным достижение согласия, необходимого для построения W(). Таким образом, в конце яркой книги по нормативной экономической теории де Грааф рекомендует, чтобы мы все обратились к позитивной теории. Это по-прежнему оставляет нас наедине с дилеммой общественной функции благосостояния Бергсона.
В своей классической монографии «Общественный выбор и индивидуальные ценности» (Arrow, 1963) Эрроу сводит вместе течения экономической и политической мысли, обрисованные выше. Теорема Эрроу может рассматриваться в различных аспектах: это суждение о распределительных вопросах, поднятых первой и второй теоремами; это замечательное логическое расширение парадокса голосования Кондорсе; это утверждение о логике выбора функций благосостояния Бергсона и о логике компенсационных оценок, оценок потребительского излишка и фактически всех инструментов прикладной экономики благосостояния. Вследствие своей важности теорема Эрроу может по праву быть названа третьей фундаментальной теоремой экономической теории благосостояния.
Анализ Эрроу выполнен на высоком уровне абстракции и требует построения дополнительной модели. Рассмотрим набор альтернатив, которые могут быть распределениями в экономике обмена, распределениями богатства, налоговых законопроектов или даже кандидатов на выборах. Альтернативы записаны как х, у, z, и т.д. Мы считаем, что есть заданное общество с индивидами, обозначенными 1, 2,п. Пусть R. обозначает структуру предпочтения /-го индивида, так что xR§y означает, что /-й индивид оценивает х так же или выше, чем у. Структура предпочтений общества состоит из предпочтений всех индивидов, символически описывается как R{, i^,Rn. Мы обозначим через R структуру предпочтения общества, полученную некоторым образом, который будет описан ниже. Отношение R — это, конечно, значительно модернизированная версия функции Бергсона Е(-), которая здесь записана как бинарное отношение, а не как функция.
Эрроу рассмотрел логику трансформации индивидуальных предпочтений в общественные предпочтения, т.е. того, как определяется Л Формально мы можем представить это преобразование следующим образом:
Rv R2, R„ -» Л
Итак, если общество должно принять решение относительно распределения, оно должно «знать», что одна альтернатива на самом деле равноценна или лучше, чем другая, даже если обе они Парето-опти-мальны. Чтобы гарантировать возможность принятия обществом таких решений, Эрроу считает отношение R полным. Это означает, что для любых альтернатив х и у верно или xRy, или yRx (или то и другое, если они равноценны для общества). Если общество хочет избежать нелогичности циклического голосования, то предпочтения должны быть транзитивными: для любых альтернатив х, у и г, если xRy и yRz, то xRz. Следуя Сену (Sen, 1970), назовем преобразование индивидуальных отношений предпочтения в полные и транзитивные отношения общественных предпочтений функцией общественного благосостояния Эрроу, или, более кратко, функцией Эрроу.
Каждый может построить функцию Эрроу, так же, как каждый может построить функцию Бергсона, т.е. судить о том, что одно распределение богатства лучше, чем другое. Но произвольные решения неудовлетворительны, так же, как и произвольные функции Эрроу. Поэтому Эрроу добавил к своей функции некоторые разумные условия. Следуя предложенной Сеном в 1970 г. версии теоремы Эрроу, укажем четыре условия.
(1) Универсальность. Функция должна всегда существовать независимо от того, каковы индивидуальные предпочтения. Было бы неприемлемым, например, потребовать единодушного согласия среди всех индивидов прежде, чем определить общественные предпочтения.
(2) Приемлемость по критерию Парето. Бели все предпочитают альтернативу х альтернативе у, то в общественных предпочтениях х должно быть выше, чем у.
(3) Независимость. Предположим, что есть два альтернативных профиля предпочтений индивидов в обществе, но индивидуальные предпочтения относительно хиу одинаковы для этих двух альтернатив. Тогда и общественное предпочтение относительно хи у должно быть одним и тем же для обеих альтернатив. В частности, если индивиды изменяют свое мнение о третьей, «несущественной» альтернативе, то это не должно влиять на общественное предпочтение относительно хиу.
(4) Отсутствие диктатора. Диктаторов быть не должно. В абстрактной модели Эрроу /-й индивид — диктатор, если общество всегда предпочитает в точности то, что предпочитает он, т.е. если функция Эрроу превращает R. в Я
Экономист или политик, который хочет получить окончательный ответ на вопросы, касающиеся распределения, или на вопросы, касающиеся выбора среди альтернатив, несравнимых по критерию Паре-то, может руководствоваться функцией общественного благосостояния Эрроу. К сожалению, Эрроу показал, что выполнение условий 1—4 гарантирует, что функция Эрроу не существует.
Третья фундаментальная теорема экономической теории благосостояния. Не существует функции общественного благосостояния Эрроу, которая удовлетворяет условиям универсальности, приемлемости по критерию Парето, независимости и отсутствия диктатора. Чтобы проиллюстрировать логику теоремы, мы будем использовать несколько более сильное предположение, чем независимость. Это предположение называется N — / — М9 или нейтральность — независимость — монотонность. Пусть V — группа индивидов. Предположим, что для некоторого профиля предпочтений и некоторой конкретной пары альтернатив хиу все члены ^предпочитают х, а не у, а все индивиды вне ^предпочитают у, а не х, и общественное предпочтение ставит х выше у. Тогда для любого профиля предпочтений и любой пары альтернатив хиу, если все члены ^предпочитают х, а не у, то и общественные предпочтения должны ставить х выше, чем у. Короче говоря, если V получает преимущество в одном случае, когда все остальные противостоят этому, то оно имеет достаточную власть, чтобы сделать это снова при других, возможно, менее трудных обстоятельствах.
Говорят, что группа индивидов К является решающей (decisive), если для всех альтернатив хиу всякий раз, когда все члены К предпочитают х, а не у, то и все общество предпочитает х, а не у. Предположение N— I — М утверждает, что если мнение К преобладает, даже будучи отвергаемым всеми остальными, то данная группа является решающей. Если процедура общественного выбора — это правило большинства голосов, то любая группа из (п + 1)/2 участников при нечетном п или из (л/2)+1 участников при четном п является решающей. Кроме того, ясно, что правило большинства голосов удовлетворяет предположению N— I— М9 поскольку если К преобладает для конкретных хиу, когда все индивиды вне К предпочитают у, а не х, то К должно быть большинством и оно должно преобладать всегда. (Правило большинства — это просто один возможный пример процедуры, которая удовлетворяет условию N — J — М: есть несчетное число других процедур, которые также удовлетворяют ему.) Теперь мы готовы обратиться к краткой версии третьей теоремы:
Третья фундаментальная теорема экономической теории благосостояния, краткая версия. Не существует функции общественного благосостояния Эрроу, которая удовлетворяет условиям универсальности, критерию Парето, нейтральности — независимости — монотонности и отсутствия диктатора.
Логика доказательства такова. Прежде всего должны существовать решающие группы индивидов, поскольку в соответствии с условием приемлемости по критерию Парето такой группой является набор всех индивидов. Далее, пусть V— решающая группа минимального размера. Если в ней есть только один человек, то он — диктатор. Предположим затем, что К включает более чем одного человека. Мы покажем, что это ведет к противоречию.
Если в группе К есть два или более индивида, то мы можем разделить ее на непустые подмножества У{ и V2. Пусть V3 включает всех людей, которые не входят ни в Vv ни в У2 (У3 может быть пустым). По свойству универсальности функция Эрроу должна быть применимой к любому профилю индивидуальных предпочтений. Возьмем три альтернативы х, у и z и рассмотрим следующие предпочтения относительно них:
для индивидов в V(.xyz,
для индивидов в У2: у zx;
для индивидов в Vyzxy. (В этой точке тесная связь между теориями Эрроу и Кондорсе очевидна, поскольку здесь даны условия парадокса голосования!)
Поскольку К предполагается решающей, у должно предпочитаться обществом в сравнении с г, что мы запишем как уРь Согласно предположению полноты для общественного отношения предпочтения должно выполняться либо xRy, либо уРх. Если выполняется xRy9 то при выполнении xRy и yPz выполнение условия xRz обеспечивается транзитивностью. Но тогда V{ является решающей группой по предположению N— I— М9 что противоречит минимальности V. Наоборот, если выполняется уРх, то V2 является решающим по предположению N— I— А/, что снова противоречит минимальности V. В каждом случае предположение о том, что Квключает двух или более людей, ведет к противоречию. Следовательно, К должно содержать только одного человека, который, конечно, и есть диктатор!
С тех пор как была доказана третья теорема, появилась целая литература о ее модификациях и вариантах. Но остался более или менее неизбежным огорчительный вывод: не существует логически надежного пути, чтобы объединить предпочтения различных индивидов, что означает, что нет логически надежного пути, чтобы решить проблему распределения.
Что же можно сказать об экономической теории благосостояния сегодня? Первая и вторая теоремы говорят о том, что рыночный механизм имеет большое достоинство: конкурентное равновесие и оптимальность по Парето жестко связаны. Но измерение размеров экономического «пирога» или вынесение суждений о его разделе ведет к парадоксам и непреодолимым трудностям, обобщенным третьей теоремой. И это — трагедия. Мы чувствуем, что знаем, подобно Адаму Смиту, какие меры политики увеличивают благосостояние народов. Но из-за теоретических трудностей не можем этого доказать.